矩阵对角化
Created: Decemenber, 1, 2020
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Keypoint: 一些矩阵可以对角化 $S^{-1}AS = \Lambda$。其中S为特征向量(列向量)构成的矩阵，$\Lambda$为特征值构成的对角矩阵。
- 什么样的矩阵可以？ 因为定义里S要可逆，所以A必须拥有n个线性无关的特征向量。
关于矩阵对角化，我们其实可以从两个角度理解：
- 一些矩阵可以对角化$S^{-1}AS = \Lambda$。
- 或一些矩阵可以化成三个矩阵的乘积：$A = S\Lambda S^{-1}$
推导 #
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
AS &= A[x_1, x_2, ..., x_n] = [Ax_1, Ax_2, ..., Ax_n] = [\lambda_1 x_1, \lambda_1 x_2, ..., \lambda_1 x_n] \\\\\\
&= [x_1, x_2, ..., x_n]
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda_n\\
\end{bmatrix}
= S\Lambda
\end{aligned}
\end{equation}
$$
左右两边同时乘S的逆，即可得到：
$$ S^{-1}AS = \Lambda $$
特殊情况 #
当矩阵A是对称矩阵时，其特征向量是正交的1。因此，对角化可以写成
$$ Q^{T}AQ = \Lambda $$