特征值&&特征向量

Created: Decemenber, 1, 2020

首先明确一点，特征值和特征向量是针对方阵来说的，我们说某个矩阵A有什么特征值和特征向量时，我们实际上暗示了矩阵A是一个方阵。

定义 #

任何满足下列条件的标量和向量分别为矩阵A的特征值和特征向量。¹

$$ Ax = \lambda x $$

Intuition #

将一个矩阵A与一个向量x相乘，我们实际上在对向量x做一个 线性变换，特征向量实际上就是经过这个变换与原向量仍然平行的那些向量，特征值就是前后两个向量长度的一个比值。

显然，零向量满足条件，那它是任何矩阵的特征向量吗？

不是，我们显示将特征向量定义为非零向量。

求解 #

根据定义，有

$$ (A-\lambda I)x = 0 $$

这个等式要有非零解，$(A-\lambda I)$必须是singular（不可逆）的，特征值要等于0：

$$ Det(A-\lambda I) = 0 $$

于是：

• 求行列式并解方程即可求出特征值。
• 对于特征向量，我们回代特征值，解$(A-\lambda I)x=0$这个方程。
  • 因为$(A-\lambda I)$不可逆，所以解有无穷多个，即特征向量有无穷多个，这时候我们只需要给出一个就行了。

性质 #

• $\sum \lambda = trace(A)$ : 矩阵A的所有特征值之和等于矩阵A的 trace（对角线元素之和）。
• $\prod \lambda = det(A)$ : 矩阵A的所有特征值的乘积等于矩阵A的行列式。
• 三角矩阵的特征值就是对角线上的元素。
• 对称矩阵的特征向量是正交的。