Jordan Form

Created: Decemenber, 7, 2020

Jordan Form是矩阵对角化的一个推广的产物。

我们知道矩阵$A$可以对角化成一个对角矩阵$\Lambda$，而且这个矩阵的对角线元素是$A$的特征值，前提是矩阵$A$存在n个线性无关的特征向量。如果不满足，则不能对角化，即找不到一个S，使得：

$$ \Lambda = S^{-1}AS $$

Jordan则推广了这个对角化的过程，任何矩阵，即使它不存在n个线性无关的特征向量，它也可以相似“对角化”为一个Jordan标准型$J$。

$$ J = P^{-1}AP $$

但这时，J的对角线不在是一个单独的元素，而是一系列Jordan块（请想象一下分块矩阵）。

$\lambda$矩阵 #

如果一个矩阵每个元素都是变量$\lambda$的多项式，则称这个矩阵为$\lambda$矩阵，记做$A(\lambda)$。

Smtih标准形

每一个$\lambda$矩阵都可以化成对角形矩阵，这个对角形矩阵称为该$\lambda$矩阵的Smith标准形。

对角线上的元素按一定顺序排列：

• 每一个元素都能整除后一个元素
• 0在最后面（这其实是第一条规则的推论）

不变因子

Smith标准形对角线上的元素称为$A(\lambda)$的不变因子。

行列式因子

k阶行列式因子就是Smith标准形的前k各元素相乘。k最大只能取到矩阵秩，就是说行列式因子没有0。

$$ D_k(\lambda) = d_1(\lambda)d_2(\lambda)…d_k(\lambda) $$

初等因子

不是常数的不变因子的“因数”称为初等因子。

例如，若$\lambda$矩阵的不变因子是

1, 1, $(\lambda-2)^5(\lambda-3)^3$, $(\lambda-2)^5(\lambda-3)^4(\lambda+2)$

则它的初等因子是，仔细看

$(\lambda-2)^5$, $(\lambda-3)^3$, $(\lambda-2)^5$, $(\lambda-3)^4$, $(\lambda+2)$