杂七杂八

Created: Decemenber, 1, 2020

Quick Look #

• 酉矩阵: $A^{H}A=E$
• 正规矩阵: $A^{H}A=A{A}^H$, 包括对称矩阵，反对称矩阵，Hermite矩阵，反Hermite矩阵，正交矩阵，酉矩阵等。
• 酉对角化： $A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^H$, 普通对角化: $A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^{-1}$
• 单纯矩阵：可以对角化的矩阵，即有n个线性无关的特征向量。

线性代数中常见的等价关系 #

• singular matrix = 奇异矩阵 = 不可逆矩阵

• A不可逆 <->¹ Ax = 0 有非零解 <->² 特征值=0

Spectrum #

矩阵中有谱（spectrum）这个概念，例如谱分解，谱范数等等。

这个谱其实说的就是特征值，特征向量，它是从光学里借过来的说法。光学中光是由各种pure light构成的，光谱就是各个成分的占比。而在矩阵中，矩阵由各个pure的component，特征值特征向量构成。

进一步来说，我们看矩阵对角化，我们知道任何一个对称矩阵A都可以对角化成$Q\mathrm{\Lambda }{Q}^T$，其中Q为特征向量组成的矩阵。

我们进一步把这个式子拆开，我们设A的特征向量为$q_i$, 则

$$A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^T={\lambda }_1{q}_1{q}_1^T+{\lambda }_2{q}_2{q}_2^T+\dots +{\lambda }_n{q}_n{q}_n^T$$

$q_i$是一个列向量，$q_1{q}_1^T$是一个矩阵，因此A实际上就化成了n个矩阵的线性组合，第i个矩阵是$q_i{q}_i^T$，系数是特征值${\lambda }_i$。