相似矩阵

满足以下条件的两个矩阵，我们称它们是相似的。

$$ B = M^{-1}AM $$

换句话说，如果某个矩阵可以由另一个矩阵左乘一个矩阵再右乘这个矩阵的逆，则称它们是相似的。

Intuition #

相似的矩阵具有很多相似的属性。

我们可以把每一个矩阵和其相似的矩阵（们）都想成一个family，这个family里可能有一些矩阵很特殊，通过研究这些特殊的矩阵（通常更为容易），我们可以反推出原矩阵的一些属性。

矩阵对角化$\Lambda = S^{-1}AS$的对角矩阵就是一种特殊的相似矩阵。

证明

证明要分两个方向，A的特征值是B的特征值，B的特征值也是A的，由这两者即可得到二者特征值相等。

对于原矩阵A, 其特征值满足：

$$ Ax = \lambda x $$

对于B：

$$ (M^{-1}AM)M^{-1}x = M^{-1} \lambda x = \lambda M^{-1} x $$ $$ BM^{-1}x = \lambda M^{-1} x $$

于是，我们知道A的特征值也是B的特征值，且B的特征向量是A的特征向量乘以$M^{-1}$。

反向很容易，把M乘到B那边得到$MBM^{-1} = A$，用类似的方法即可证明。