线性空间和线性变换

Created: Decemenber, 9, 2020

抽象来说，线性空间就是里面元素满足一定运算规律的一个空间。

具体来说，空间的概念在数学上就是一个集合，空间里的元素就是集合里的元素，线性空间就是里面元素满足一定运算规律的一个集合。

线性空间 #

符号说明：实数域R，复数域C，统称数域F。

线性空间是数域F上满足加法和数乘运算规律的一个集合。具体定义如下：

TODO

核(零)空间 #

核空间，或者说零空间是针对一个矩阵来说的。对一个矩阵A，它的核空间就是Ax=0的解空间。

常用 N(A) 来表示，N其实就是英文里Null Space的首字母。

列空间/值域 #

同样是针对一个矩阵来说的，具体不解释。常用 R(A) 表示。

向量 #

我们把线性空间里的元素称为向量。

注意，这里的向量比线性代数里的n元向量含义更广。

概念：

线性组合/线性表示
线性相关/无关

基 #

一个线性空间的基，是可以线性表出这个线性空间中其它所有向量的n个线性无关的向量。

$$ \alpha = k_1a_1 + k_2a_2 + … + k_na_n $$

其中系数称为向量$\alpha$在这个基下的坐标。

基变换 #

不同基之间可以进行变换，其中P称为过渡矩阵。

$$ B = AP $$

$$ [b_1,b_2,…,b_n] = [a_1,a_2,…,a_n]P $$

坐标变换 #

坐标变换是左乘$P^{-1}$。推导如下

$$ B\beta^T = A\alpha^T $$

$$ AP\beta^T = A\alpha^T $$

$$ \beta^T = P^{-1}\alpha^T $$

线性子空间 #

线性子空间是线性空间中仍满足线性空间要求的一个子空间。

特殊的两个子空间：也称这两个子空间为平凡子空间

线性空间本身
零空间

生成子空间：写做 span{$a_1, a_2, …, a_n$}

交空间：两个子空间的交集，同时存在于两个子空间。

$$ V_{1} \cap V_{2}=\left\{\boldsymbol{\alpha} \mid \boldsymbol{\alpha} \in V_{1} \text { 且 } \boldsymbol{\alpha} \in V_{2}\right\} $$

和空间：这个空间的向量是两个空间向量的和。这两个子空间有点像是和空间的基底。

$$ V_{1}+V_{2}=\left\{\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2} \mid \boldsymbol{\alpha}_{1} \in V_{1} \text { 且 } \boldsymbol{\alpha}_{2} \in V_{2}\right\} $$

维数公式：

$$ \operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right) $$

直和空间：若V1，V2两个子空间没有交集，则它们的和空间称为V1，V2的直和空间。

补子空间：直和空间为全集的两个子空间互为自己代数补。

线性映射 #

定义：满足加法和数乘的两个线性空间的映射关系称为线性映射。

线性映射前的空间叫原像，后的叫“像”。

证明线性映射，只需要证明下面两个式子：

$$ \begin{array}{l} \mathcal{A} \left( \alpha _{1}+ \alpha _{2}\right)= \mathcal{A} \left( \alpha _{1}\right)+ \mathcal{A} \left( \alpha _{2}\right) \\ \mathcal{A} \left(\lambda \alpha _{1}\right)=\lambda \mathcal{A} \left( \alpha _{1}\right) \end{array} $$

性质 #

零元素经过线性映射还是零元素。
一组元素经过线性映射，如果原来线性相关，则之后也线性相关。但是，如果原来线性无关，则之后不一定线性无关。

矩阵表示 #

线性映射可以用矩阵表示，但这之前我们需要将两个线性空间的元素用各自的基底进行表示。

选取不同的基底，同一个线性映射的矩阵表示就不同。

注意区分两个概念：

基坐标变换：$\alpha=\beta A$
向量坐标变换：$y=Ax$

给定基的情况下给个矩阵都表示一个线性映射。

不同基底下矩阵表示之间的关系：

设有两个空间$X,Y$, 两组基底$x_1,y_1$和$x_2,y_2$，

$Q$是$y_1$到$y_2$的过渡矩阵，
$P$是$x_1$到$x_2$之间的过渡矩阵，

则在$x_1,y_1$下的$A$与在$x_2,y_2$的$B$有如下关系。

$$ B = Q^{-1}AP $$

值域&&核 #

值域

核子空间：线性映射的“零空间“，映射之后为0的元素构成的空间。

对于一个从n维线性空间v1，映射到m维线性空间v2的线性映射。

核子空间核值域的维数之和为n

线性变换 #

同一个空间的线性映射称之为线性变换。

矩阵相似, 存在矩阵P，满足：

$$ B=P^{-1}AP $$

则称A，B相似。

两个矩阵相似，意味着它们是不同基底下同一个线性变换的不同矩阵表示。

线性变换本身也可以定义运算, 这些运算和其矩阵表示有着对应关系:

乘法: AB
加法: A+B
数乘: kA

特征值&&特征向量 #

矩阵特征值的推广，求还是用线性变换的矩阵表示来求。

特征子空间：一个特征值对应的特征向量和零向量构成的一个子空间，称为这个特征值的特征子空间。
代数重复度：每个不同特征值的重复数目称为这个特征值的代数重复度。
几何重复度：一个特征值特征子空间的维数称为这个特征值的几何重复度。

相似对角化 #

n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

注意，并不是什么线性变换存在一个基，使得在这个基下的矩阵表示，呈现对角形。