洛伦兹变换
December 17, 2017
洛伦兹变换是从光速不变原理推出的，不同坐标系坐标之间的转换关系。
**光速不变原理：**对任何参考系，光速都为一个固定值C
狭义相对性原理： 在所有惯性系中，物理定律都有相同的表达形式
洛伦兹变换推导 #
以二维直角坐标为例，只考虑x轴方向运动
假设你相对于我向x轴正方向以速度 u 运动，我和你在某个时间相遇，这时候
- 我和你分别以自己为原点建立坐标系。
- 将我和你的时钟归零
以我看来，假设在 t 时刻， x 位置发生了一个事件。
设该事件，在你看来，发生在 t‘ 时刻， x‘ 位置。
接下来，有关我的量都不带 ' ,而有关你的都带 '。
###相对论出现之前
那么由于你相对我在运动，则在我看来，你运动了 ut 的距离，并且我认为 你认为事件发生的位置是 $$ x' = x-ut $$ 而反过来，在你看来，你认为你运动了 ut' 的距离，你认为 我认为事件发生的位置是 $$ x = x' + ut' $$
###相对论出现之后
如果现在，我们质疑这两个式子的正确性。
比如，如果在你看来，你觉得你的 x' 与我认为 你认为的 x' 不相等，那么不如给式子乘上一个系数 $\gamma$ ，通过别的条件计算，如果系数是1，那我就是对的，如果不是，那结果就是那样。 $$ x' = \gamma (x-ut) $$ 同理，我觉得你的 x 与你认为的我的 x 不相等，同样的，乘一个系数 $\gamma$ ， 这个系数与之前的一样 [1]。 $$ x = \gamma (x'+ut') $$ 为了解出这个系数 $\gamma$ ，我们不妨从一个具体事件出发（当然这可能导致推导不太严谨，但是可以证明，结果是正确的）。
假设这个事件以一束光触发，并且在我看来在 t 时间的时候发生
由光速不变原理，我们可以得到 [2]
- 在我看来，发生的距离 $x = ct$
- 在你看来，距离 $x' = ct'$
由上面四个方程，则能推出洛伦兹变换的坐标变换式 [3]
$$
\begin{equation}
\left{
\begin{array}{lr}
x' = \frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} & (1)\
x = \frac{x'+ut'}{\sqrt{1-u^2/c^2}} & (2)
\end{array}
\right.
\end{equation}
$$
方程（1）即由我的坐标转换为你的。
方程（2）反过来。
注意： u表示你相对我向正方向运动的速度。
而利用 (1), (2)式还能够导出 洛伦兹变换的时间变换式 [4]。
$$
\begin{equation}
\left{
\begin{array}{lr}
t' = \frac{t-xu/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} & (3)\
t = \frac{t'+x’u/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} & (4)
\end{array}
\right.
\end{equation}
$$
仅仅通过这四个式子可能不太容易弄明白 洛伦兹变换究竟意味着什么。
下面将展示一系列通过洛伦兹变换的到的结果。
时间差与空间差 #
假设在我看来在(在我的坐标系中)， 在$(x_1,t_1)$ 和 $(x_2,t_2)$ 分别发生了两个事件。
那么由洛伦兹变换，在你看来
$$
\begin{equation}
\left{
\begin{array}{lr}
x_1' = \frac{x_1-ut_1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} & \
t_1' = \frac{t_1-x_1u/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} &
\end{array}
\right.
\end{equation}
$$
$$
\begin{equation}
\left{
\begin{array}{lr}
x_2' = \frac{x_2-ut_2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} & \
t_2' = \frac{t_2-x_2u/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} &
\end{array}
\right.
\end{equation}
$$
上下分别相减，则可以得到时间差和空间差的关系
$$
\begin{equation}
\left{
\begin{array}{lr}
\Delta x' = \frac{\Delta x -u\Delta t }{\sqrt{1-u^2/c^2}}& (5)\
\Delta t' = \frac{\Delta t - \Delta x u/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}& (6)
\end{array}
\right.
\end{equation}
$$
(5) 意味着在我看来的距离 $\Delta x$，在相对我运动的你看来，要长一些。
(6) 意味着在我看来的时间差 $\Delta t$ ，对于相对我运动的你来说，不再是相同的时间差。
长度收缩 #
现在，假设我和你要测量一个物体的长度，这个物体以u的速度相对我向正方向运动，而你和这个物体一起运动。
我将通过两个事件测量这个物体的长度。
- 在某一时刻，在物体两端发生了两个事件，分别记为 $(x_1,t),(x_2,t)$
- 那么两个事件的空间差即为物体的长度
那么由前面的空间差的关系，你测量出的长度为 $\Delta x'$ ，而我测量出的长度为 $\Delta x$，由公式5可知，我测出的长度比你测出的要短一些。
即相对物体运动的观察者 测出的物体长度 要比相对物体静止的观察者 测出的要短。
时间延缓 #
前面提到，我和运动的你，对于两个事件的时间差的认识发生了偏差。
假设这两个事件对应时钟
- 事件1: 走到这一秒 滴
- 事件2: 走到下一秒 嗒
那么，由前面的（6）式可以知道，在我的时空坐标中的 1s 与你的时空坐标中的 1s 不再相同。 如果我们忽略两个走针的距离，即$\Delta x= 0$ (对应其他事件，即同一地点发生的两个事件），那么我们可以得到 $$ \Delta t' = \frac{\Delta t }{\sqrt{1-u^2/c^2}} $$ 在相对我运动的你的时空坐标中，你的1s变长了。也即你的时间延缓了。
其实，这里的钟可以提高到更加普遍的范畴上，任何两个事件的时间差都会变长。比如我们的身体的化学反应的进程等等，都被延缓了。
孪生子悖论
如果我活了50岁，你可能才到20岁。
如果我现在登上飞船，以很高的速度进行星际旅行，那么等我回到地球时，会发现你比我年轻。
而这在你看来，则相反，你会认为我比你年轻。这就是孪生子悖论。
事实上，地球上的你的看法才是对的，狭义相对论只对惯性系有同等意义，即只有在惯性系中上面的等式才成立。对于在飞船上的你，必定经历了一段加速过程（你的时空坐标是非惯性系），在这段时间里，不能利用上面的公式计算 我和你的时间差。
而要正确计算我和你的年龄差，需要利用积分进行计算。
参考： 维基百科：双生子佯谬
同时性的相对性 #
由上面的公式（6）我们还可以得到 同时的概念是相对的 。 $$ \Delta t' = \frac{\Delta t - \Delta x u/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} $$ 两个对我来说同时发生的时间，即 $\Delta t = 0$ ，对于你来说
- 如果对我来说，它们不同地发生 [5] ($\Delta x \not = 0$) ，则 $\Delta t' \not= 0$ ，即对我同时发生的两个事件，对你来说不同时发生。
- 而如果对我来说是同时同地发生的事件，对你来说也是同时同地发生的。[6]
速度的关系 #
由洛伦兹变换还能推导出，在我的时空坐标中的速度与你的时空坐标中的速度之间的关系。 $$ v' = \frac{\Delta x'}{\Delta t'} = \frac{\Delta x -u\Delta t }{\Delta t - \Delta x u/c^2} = \frac{\Delta x / \Delta t -u }{1 - \Delta x/\Delta t u/c^2} = \frac{v -u }{1 - v u/c^2} $$
附录 #
[1] 根据相对性原理，在所有惯性系中物理定律都具有相同的形式，故修正系数 $\gamma$ 对任何人都应相同。
[2]
[3]
[4]
[5] 由公式5，对于你也一定不同地
[6] 对于这个，我们设想一个事件两辆车相撞，它可以分解为两个事件，一个是一辆车在某个时刻到某个地点，另一个是另一辆车在同一时刻到同一地点。这样它们才能相撞。所以如果对我来说同时同地发生的这两个事件，对你来说不是同时同地的，那么对你来说车不会相撞，而车相撞是客观存在的。因此对我来说是同时同地发生的事件，对你来说也是同时同地发生的。
四维空间的理解 #
在二维坐标中，一个点(x,y)，不论怎么做变换，旋转，平移等等，都只会涉及x,y。用两个坐标就能够描述这个二维世界。
在三维世界，我们描述一个事件，需要用到（x,y,z,t），我们怎么…
待续.