洛伦兹变换

December 17, 2017
相对论, 物理

洛伦兹变换是从光速不变原理推出的,不同坐标系坐标之间的转换关系。

**光速不变原理:**对任何参考系,光速都为一个固定值C

狭义相对性原理: 在所有惯性系中,物理定律都有相同的表达形式

相对论

洛伦兹变换推导 #

以二维直角坐标为例,只考虑x轴方向运动

假设你相对于我向x轴正方向以速度 u 运动,我和你在某个时间相遇,这时候

  1. 我和你分别以自己为原点建立坐标系。
  2. 将我和你的时钟归零

以我看来,假设在 t 时刻, x 位置发生了一个事件。

设该事件,在你看来,发生在 t‘ 时刻, x‘ 位置。

接下来,有关我的量都' ,而有关你的都带 '

###相对论出现之前

那么由于你相对我在运动,则在我看来,你运动了 ut 的距离,并且我认为 你认为事件发生的位置是 x=xut 而反过来,在你看来,你认为你运动了 ut' 的距离,你认为 我认为事件发生的位置是 x=x+ut

###相对论出现之后

如果现在,我们质疑这两个式子的正确性。

比如,如果在你看来,你觉得你的 x' 与我认为 你认为的 x' 不相等,那么不如给式子乘上一个系数 γ ,通过别的条件计算,如果系数是1,那我就是对的,如果不是,那结果就是那样。 x=γ(xut) 同理,我觉得你的 x 与你认为的我的 x 不相等,同样的,乘一个系数 γ , 这个系数与之前的一样 [1]。 x=γ(x+ut) 为了解出这个系数 γ ,我们不妨从一个具体事件出发(当然这可能导致推导不太严谨,但是可以证明,结果是正确的)。


假设这个事件以一束光触发,并且在我看来在 t 时间的时候发生

由光速不变原理,我们可以得到 [2]

  • 在我看来,发生的距离 x=ct
  • 在你看来,距离 x=ct

由上面四个方程,则能推出洛伦兹变换的坐标变换式 [3]

$$ \begin{equation}
\left{
x=xut1u2/c2(1) x=x+ut1u2/c2(2)
\right.
\end{equation} $$ 方程(1)即由我的坐标转换为你的。

方程(2)反过来。

注意: u表示你相对我向正方向运动的速度。

而利用 (1), (2)式还能够导出 洛伦兹变换的时间变换式 [4]。 $$ \begin{equation}
\left{
t=txu/c21u2/c2(3) t=t+xu/c21u2/c2(4)
\right.
\end{equation} $$ 仅仅通过这四个式子可能不太容易弄明白 洛伦兹变换究竟意味着什么。

下面将展示一系列通过洛伦兹变换的到的结果。

时间差与空间差 #

假设在我看来在(在我的坐标系中), 在(x1,t1)(x2,t2) 分别发生了两个事件。

那么由洛伦兹变换,在你看来 $$ \begin{equation}
\left{
x1=x1ut11u2/c2 t1=t1x1u/c21u2/c2
\right.
\end{equation} $$

$$ \begin{equation}
\left{
x2=x2ut21u2/c2 t2=t2x2u/c21u2/c2
\right.
\end{equation} $$

上下分别相减,则可以得到时间差和空间差的关系 $$ \begin{equation}
\left{
Δx=ΔxuΔt1u2/c2(5) Δt=ΔtΔxu/c21u2/c2(6)
\right.
\end{equation} $$ (5) 意味着在我看来的距离 Δx,在相对我运动的你看来,要长一些。

(6) 意味着在我看来的时间差 Δt ,对于相对我运动的你来说,不再是相同的时间差。

长度收缩 #

现在,假设我和你要测量一个物体的长度,这个物体以u的速度相对我向正方向运动,而你和这个物体一起运动。

我将通过两个事件测量这个物体的长度。

  • 在某一时刻,在物体两端发生了两个事件,分别记为 (x1,t),(x2,t)
  • 那么两个事件的空间差即为物体的长度

那么由前面的空间差的关系,你测量出的长度为 Δx ,而我测量出的长度为 Δx,由公式5可知,我测出的长度比你测出的要短一些。

即相对物体运动的观察者 测出的物体长度 要比相对物体静止的观察者 测出的要短。

时间延缓 #

前面提到,我和运动的你,对于两个事件的时间差的认识发生了偏差。

假设这两个事件对应时钟

  • 事件1: 走到这一秒 滴
  • 事件2: 走到下一秒 嗒

那么,由前面的(6)式可以知道,在我的时空坐标中的 1s 与你的时空坐标中的 1s 不再相同。 如果我们忽略两个走针的距离,即Δx=0 (对应其他事件,即同一地点发生的两个事件),那么我们可以得到 Δt=Δt1u2/c2 在相对我运动的你的时空坐标中,你的1s变长了。也即你的时间延缓了。

其实,这里的钟可以提高到更加普遍的范畴上,任何两个事件的时间差都会变长。比如我们的身体的化学反应的进程等等,都被延缓了。

孪生子悖论

如果我活了50岁,你可能才到20岁。

如果我现在登上飞船,以很高的速度进行星际旅行,那么等我回到地球时,会发现你比我年轻。

而这在你看来,则相反,你会认为我比你年轻。这就是孪生子悖论

事实上,地球上的你的看法才是对的,狭义相对论只对惯性系有同等意义,即只有在惯性系中上面的等式才成立。对于在飞船上的你,必定经历了一段加速过程(你的时空坐标是非惯性系),在这段时间里,不能利用上面的公式计算 我和你的时间差。

而要正确计算我和你的年龄差,需要利用积分进行计算。

参考: 维基百科:双生子佯谬

同时性的相对性 #

由上面的公式(6)我们还可以得到 同时的概念是相对的Δt=ΔtΔxu/c21u2/c2 两个对我来说同时发生的时间,即 Δt=0 ,对于你来说

  • 如果对我来说,它们不同地发生 [5] (Δx0) ,则 Δt0 ,即对我同时发生的两个事件,对你来说不同时发生。
  • 而如果对我来说是同时同地发生的事件,对你来说也是同时同地发生的。[6]

速度的关系 #

由洛伦兹变换还能推导出,在我的时空坐标中的速度与你的时空坐标中的速度之间的关系。 v=ΔxΔt=ΔxuΔtΔtΔxu/c2=Δx/Δtu1Δx/Δtu/c2=vu1vu/c2

附录 #

[1] 根据相对性原理,在所有惯性系中物理定律都具有相同的形式,故修正系数 γ 对任何人都应相同。

[2]

[3]

[4]

[5] 由公式5,对于你也一定不同地

[6] 对于这个,我们设想一个事件两辆车相撞,它可以分解为两个事件,一个是一辆车在某个时刻到某个地点,另一个是另一辆车在同一时刻到同一地点。这样它们才能相撞。所以如果对我来说同时同地发生的这两个事件,对你来说不是同时同地的,那么对你来说车不会相撞,而车相撞是客观存在的。因此对我来说是同时同地发生的事件,对你来说也是同时同地发生的。

四维空间的理解 #

在二维坐标中,一个点(x,y),不论怎么做变换,旋转,平移等等,都只会涉及x,y。用两个坐标就能够描述这个二维世界。

在三维世界,我们描述一个事件,需要用到(x,y,z,t),我们怎么…

待续.