洛伦兹变换

December 17, 2017

相对论, 物理

洛伦兹变换是从光速不变原理推出的，不同坐标系坐标之间的转换关系。

**光速不变原理：**对任何参考系，光速都为一个固定值C

狭义相对性原理： 在所有惯性系中，物理定律都有相同的表达形式

相对论

洛伦兹变换推导 #

以二维直角坐标为例，只考虑x轴方向运动

假设你相对于我向x轴正方向以速度 u 运动，我和你在某个时间相遇，这时候

我和你分别以自己为原点建立坐标系。

将我和你的时钟归零

以我看来，假设在 t 时刻， x 位置发生了一个事件。

设该事件，在你看来，发生在 t‘ 时刻， x‘ 位置。

接下来，有关我的量都不带 ' ,而有关你的都带 '。

###相对论出现之前

那么由于你相对我在运动，则在我看来，你运动了 ut 的距离，并且我认为你认为事件发生的位置是 $x^{'} = x - u t$ 而反过来，在你看来，你认为你运动了 ut' 的距离，你认为我认为事件发生的位置是 $x = x^{'} + u t^{'}$

###相对论出现之后

如果现在，我们质疑这两个式子的正确性。

比如，如果在你看来，你觉得你的 x' 与我认为你认为的 x' 不相等，那么不如给式子乘上一个系数 $γ$ ，通过别的条件计算，如果系数是1，那我就是对的，如果不是，那结果就是那样。 $x^{'} = γ (x - u t)$ 同理，我觉得你的 x 与你认为的我的 x 不相等，同样的，乘一个系数 $γ$ ，这个系数与之前的一样 [1]。 $x = γ (x^{'} + u t^{'})$ 为了解出这个系数 $γ$ ，我们不妨从一个具体事件出发（当然这可能导致推导不太严谨，但是可以证明，结果是正确的）。

假设这个事件以一束光触发，并且在我看来在 t 时间的时候发生

由光速不变原理，我们可以得到 [2]

在我看来，发生的距离 $x = c t$
在你看来，距离 $x^{'} = c t^{'}$

由上面四个方程，则能推出洛伦兹变换的坐标变换式 [3]

$$ \begin{equation}
\left{
$\begin{array}{lr} x^{'} = \frac{x - u t}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} & (1) x = \frac{x^{'} + u t^{'}}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} & (2) \end{array}$
\right.
\end{equation} $$ 方程（1）即由我的坐标转换为你的。

方程（2）反过来。

注意： u表示你相对我向正方向运动的速度。

而利用 (1), (2)式还能够导出洛伦兹变换的时间变换式 [4]。 $$ \begin{equation}
\left{
$\begin{array}{lr} t^{'} = \frac{t - x u / c^{2}}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} & (3) t = \frac{t^{'} + x^{'} u / c^{2}}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} & (4) \end{array}$
\right.
\end{equation} $$ 仅仅通过这四个式子可能不太容易弄明白洛伦兹变换究竟意味着什么。

下面将展示一系列通过洛伦兹变换的到的结果。

时间差与空间差 #

假设在我看来在(在我的坐标系中)，在 $(x_{1}, t_{1})$ 和 $(x_{2}, t_{2})$ 分别发生了两个事件。

那么由洛伦兹变换，在你看来 $$ \begin{equation}
\left{
$\begin{array}{lr} x_{1}^{'} = \frac{x_{1} - u t_{1}}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} & t_{1}^{'} = \frac{t_{1} - x_{1} u / c^{2}}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} \end{array}$
\right.
\end{equation} $$

$$ \begin{equation}
\left{
$\begin{array}{lr} x_{2}^{'} = \frac{x_{2} - u t_{2}}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} & t_{2}^{'} = \frac{t_{2} - x_{2} u / c^{2}}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} \end{array}$
\right.
\end{equation} $$

上下分别相减，则可以得到时间差和空间差的关系 $$ \begin{equation}
\left{
$\begin{array}{lr} Δ x^{'} = \frac{Δ x - u Δ t}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} & (5) Δ t^{'} = \frac{Δ t - Δ x u / c^{2}}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} & (6) \end{array}$
\right.
\end{equation} $$ (5) 意味着在我看来的距离 $Δ x$ ，在相对我运动的你看来，要长一些。

(6) 意味着在我看来的时间差 $Δ t$ ，对于相对我运动的你来说，不再是相同的时间差。

长度收缩 #

现在，假设我和你要测量一个物体的长度，这个物体以u的速度相对我向正方向运动，而你和这个物体一起运动。

我将通过两个事件测量这个物体的长度。

在某一时刻，在物体两端发生了两个事件，分别记为 $(x_{1}, t), (x_{2}, t)$
那么两个事件的空间差即为物体的长度

那么由前面的空间差的关系，你测量出的长度为 $Δ x^{'}$ ，而我测量出的长度为 $Δ x$ ，由公式5可知，我测出的长度比你测出的要短一些。

即相对物体运动的观察者测出的物体长度要比相对物体静止的观察者测出的要短。

时间延缓 #

前面提到，我和运动的你，对于两个事件的时间差的认识发生了偏差。

假设这两个事件对应时钟

事件1: 走到这一秒滴
事件2: 走到下一秒嗒

那么，由前面的（6）式可以知道，在我的时空坐标中的 1s 与你的时空坐标中的 1s 不再相同。如果我们忽略两个走针的距离，即 $Δ x = 0$ (对应其他事件，即同一地点发生的两个事件），那么我们可以得到 $Δ t^{'} = \frac{Δ t}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}}$ 在相对我运动的你的时空坐标中，你的1s变长了。也即你的时间延缓了。

其实，这里的钟可以提高到更加普遍的范畴上，任何两个事件的时间差都会变长。比如我们的身体的化学反应的进程等等，都被延缓了。

孪生子悖论

如果我活了50岁，你可能才到20岁。

如果我现在登上飞船，以很高的速度进行星际旅行，那么等我回到地球时，会发现你比我年轻。

而这在你看来，则相反，你会认为我比你年轻。这就是孪生子悖论。

事实上，地球上的你的看法才是对的，狭义相对论只对惯性系有同等意义，即只有在惯性系中上面的等式才成立。对于在飞船上的你，必定经历了一段加速过程（你的时空坐标是非惯性系），在这段时间里，不能利用上面的公式计算我和你的时间差。

而要正确计算我和你的年龄差，需要利用积分进行计算。

参考：维基百科：双生子佯谬

同时性的相对性 #

由上面的公式（6）我们还可以得到 同时的概念是相对的 。 $Δ t^{'} = \frac{Δ t - Δ x u / c^{2}}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}}$ 两个对我来说同时发生的时间，即 $Δ t = 0$ ，对于你来说

如果对我来说，它们不同地发生 [5] ( $Δ x \neq 0$ ) ，则 $Δ t^{'} \neq 0$ ，即对我同时发生的两个事件，对你来说不同时发生。
而如果对我来说是同时同地发生的事件，对你来说也是同时同地发生的。[6]

速度的关系 #

由洛伦兹变换还能推导出，在我的时空坐标中的速度与你的时空坐标中的速度之间的关系。 $v^{'} = \frac{Δ x^{'}}{Δ t^{'}} = \frac{Δ x - u Δ t}{Δ t - Δ x u / c^{2}} = \frac{Δ x / Δ t - u}{1 - Δ x / Δ t u / c^{2}} = \frac{v - u}{1 - v u / c^{2}}$

附录 #

[1] 根据相对性原理，在所有惯性系中物理定律都具有相同的形式，故修正系数 $γ$ 对任何人都应相同。

[2]

[3]

[4]

[5] 由公式5，对于你也一定不同地

[6] 对于这个，我们设想一个事件两辆车相撞，它可以分解为两个事件，一个是一辆车在某个时刻到某个地点，另一个是另一辆车在同一时刻到同一地点。这样它们才能相撞。所以如果对我来说同时同地发生的这两个事件，对你来说不是同时同地的，那么对你来说车不会相撞，而车相撞是客观存在的。因此对我来说是同时同地发生的事件，对你来说也是同时同地发生的。

四维空间的理解 #

在二维坐标中，一个点(x,y)，不论怎么做变换，旋转，平移等等，都只会涉及x,y。用两个坐标就能够描述这个二维世界。

在三维世界，我们描述一个事件，需要用到（x,y,z,t），我们怎么…

待续.