洛伦兹变换
December 17, 2017
洛伦兹变换是从光速不变原理推出的,不同坐标系坐标之间的转换关系。
**光速不变原理:**对任何参考系,光速都为一个固定值C
狭义相对性原理: 在所有惯性系中,物理定律都有相同的表达形式
洛伦兹变换推导 #
以二维直角坐标为例,只考虑x轴方向运动
假设你相对于我向x轴正方向以速度 u 运动,我和你在某个时间相遇,这时候
- 我和你分别以自己为原点建立坐标系。
- 将我和你的时钟归零
以我看来,假设在 t 时刻, x 位置发生了一个事件。
设该事件,在你看来,发生在 t‘ 时刻, x‘ 位置。
接下来,有关我的量都不带 ' ,而有关你的都带 '。
###相对论出现之前
那么由于你相对我在运动,则在我看来,你运动了 ut 的距离,并且我认为 你认为事件发生的位置是
###相对论出现之后
如果现在,我们质疑这两个式子的正确性。
比如,如果在你看来,你觉得你的 x' 与我认为 你认为的 x' 不相等,那么不如给式子乘上一个系数
假设这个事件以一束光触发,并且在我看来在 t 时间的时候发生
由光速不变原理,我们可以得到 [2]
- 在我看来,发生的距离
- 在你看来,距离
由上面四个方程,则能推出洛伦兹变换的坐标变换式 [3]
$$
\begin{equation}
\left{
\right.
\end{equation}
$$
方程(1)即由我的坐标转换为你的。
方程(2)反过来。
注意: u表示你相对我向正方向运动的速度。
而利用 (1), (2)式还能够导出 洛伦兹变换的时间变换式 [4]。
$$
\begin{equation}
\left{
\right.
\end{equation}
$$
仅仅通过这四个式子可能不太容易弄明白 洛伦兹变换究竟意味着什么。
下面将展示一系列通过洛伦兹变换的到的结果。
时间差与空间差 #
假设在我看来在(在我的坐标系中), 在
那么由洛伦兹变换,在你看来
$$
\begin{equation}
\left{
\right.
\end{equation}
$$
$$
\begin{equation}
\left{
\right.
\end{equation}
$$
上下分别相减,则可以得到时间差和空间差的关系
$$
\begin{equation}
\left{
\right.
\end{equation}
$$
(5) 意味着在我看来的距离
(6) 意味着在我看来的时间差
长度收缩 #
现在,假设我和你要测量一个物体的长度,这个物体以u的速度相对我向正方向运动,而你和这个物体一起运动。
我将通过两个事件测量这个物体的长度。
- 在某一时刻,在物体两端发生了两个事件,分别记为
- 那么两个事件的空间差即为物体的长度
那么由前面的空间差的关系,你测量出的长度为
即相对物体运动的观察者 测出的物体长度 要比相对物体静止的观察者 测出的要短。
时间延缓 #
前面提到,我和运动的你,对于两个事件的时间差的认识发生了偏差。
假设这两个事件对应时钟
- 事件1: 走到这一秒 滴
- 事件2: 走到下一秒 嗒
那么,由前面的(6)式可以知道,在我的时空坐标中的 1s 与你的时空坐标中的 1s 不再相同。 如果我们忽略两个走针的距离,即
其实,这里的钟可以提高到更加普遍的范畴上,任何两个事件的时间差都会变长。比如我们的身体的化学反应的进程等等,都被延缓了。
孪生子悖论
如果我活了50岁,你可能才到20岁。
如果我现在登上飞船,以很高的速度进行星际旅行,那么等我回到地球时,会发现你比我年轻。
而这在你看来,则相反,你会认为我比你年轻。这就是孪生子悖论。
事实上,地球上的你的看法才是对的,狭义相对论只对惯性系有同等意义,即只有在惯性系中上面的等式才成立。对于在飞船上的你,必定经历了一段加速过程(你的时空坐标是非惯性系),在这段时间里,不能利用上面的公式计算 我和你的时间差。
而要正确计算我和你的年龄差,需要利用积分进行计算。
参考: 维基百科:双生子佯谬
同时性的相对性 #
由上面的公式(6)我们还可以得到 同时的概念是相对的 。
- 如果对我来说,它们不同地发生 [5] (
) ,则 ,即对我同时发生的两个事件,对你来说不同时发生。 - 而如果对我来说是同时同地发生的事件,对你来说也是同时同地发生的。[6]
速度的关系 #
由洛伦兹变换还能推导出,在我的时空坐标中的速度与你的时空坐标中的速度之间的关系。
附录 #
[1] 根据相对性原理,在所有惯性系中物理定律都具有相同的形式,故修正系数
[2]
[3]
[4]
[5] 由公式5,对于你也一定不同地
[6] 对于这个,我们设想一个事件两辆车相撞,它可以分解为两个事件,一个是一辆车在某个时刻到某个地点,另一个是另一辆车在同一时刻到同一地点。这样它们才能相撞。所以如果对我来说同时同地发生的这两个事件,对你来说不是同时同地的,那么对你来说车不会相撞,而车相撞是客观存在的。因此对我来说是同时同地发生的事件,对你来说也是同时同地发生的。
四维空间的理解 #
在二维坐标中,一个点(x,y),不论怎么做变换,旋转,平移等等,都只会涉及x,y。用两个坐标就能够描述这个二维世界。
在三维世界,我们描述一个事件,需要用到(x,y,z,t),我们怎么…
待续.